JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是两种网络型态的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。另一3个 图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了另一3个 图的型态:

  在介绍如保用JavaScript实现图后后,我们歌词 先介绍许多和图相关的术语。

  如上图所示,由一根绳子 边连接在同時 的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。另一3个 顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它另一3个 顶点相连,许多A的度为3,E和其它另一3个 顶点相连,许多E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中含晒 路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包含晒 重复的顶点,后后将的最后另一3个 顶点去掉 ,它也是另一3个 简单路径。类事路径ADCA是另一3个 环,它都不 另一3个 简单路径,后后将路径中的最后另一3个 顶点A去掉 ,那么它许多我另一3个 简单路径。后后图中不居于环,则称该图是无环的。后后图中任何另一3个 顶点间都居于路径,则该图是连通的,如上图许多我另一3个 连通图。后后图的边那么方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,后后另一3个 顶点间在双向上都居于路径,则称这另一3个 顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。后后有向图中的任何另一3个 顶点间在双向上都居于路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还都前就是 我加权的。前面我们歌词 想看 的图都不 未加权的,下图为另一3个 加权的图:

  都前要想象一下,前面我们歌词 介绍的树和链表也属于图的两种特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,类事我们歌词 都前要搜索图中的另一3个 特定顶点或一根绳子 特定的边,后后寻找另一3个 顶点间的路径以及最短路径,检测图中算是居于环等等。

  居于多种不同的依据来实现图的数据型态,下面介绍几种常用的依据。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,我们歌词 用另一3个 二维数组来表示图中顶点之间的连接,后后另一3个 顶点之间居于连接,则这另一3个 顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,有后后 为0。下图是用邻接矩阵依据表示的图:

  后后是加权的图,我们歌词 都前要将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵依据居于另一3个 缺点,后后图是非强连通的,则二维数组中会有许多的0,这表示我们歌词 使用了许多的存储空间来表示根本不居于的边。曾经缺点许多我当图的顶点居于改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外两种实现依据是邻接表,它是对邻接矩阵的两种改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,我们歌词 都前要用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  我们歌词 还都前要用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的状态下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵依据表示的图:

  下面我们歌词 重点看下如保用邻接表的依据表示图。我们歌词 的Graph类的骨架如下,它用邻接表依据来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中去掉

另一3个

新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中去掉

a和b另一3个

顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,我们歌词 用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据型态——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每另一3个 顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面我们歌词 给出的邻接表的示意图。有后后 在Graph类中,我们歌词 提供另一3个 依据,依据addVertex()用来向图中去掉 另一3个 新顶点,依据addEdge()用来向图中去掉 给定的顶点a和顶点b之间的边。给你门 来看下这另一3个 依据的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要去掉 另一3个 新顶点,首那么判断该顶点在图中算是后后居于了,后后后后居于则那么去掉 。后后不居于,就在vertices数组中去掉 另一3个 新元素,有后后 在字典adjList中去掉 另一3个 以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 后后图中那么顶点a,先去掉

顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 后后图中那么顶点b,先去掉

顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中去掉

指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中去掉

指向顶点a的边
}

  addEdge()依据也很简单,首那么确保给定的另一3个 顶点a和b在图中前要居于,后后不居于,则调用addVertex()依据进行去掉 ,有后后 分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中去掉 另一3个 新元素。

  下面是Graph类的完正代码,其中的toString()依据是为了我们歌词 测试用的,它的居于都不 前要的。

  对于本文一现在开始给出的图,我们歌词 去掉 下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  都前要想看 ,与示意图是相符合的。

  和树类事,我们歌词 也都前要对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历依据分为两种:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和深层优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历都前要用来寻找特定的顶点或另一3个 顶点之间的最短路径,以及检查图算是连通、图中算是含晒 环等。

  在接下来要实现的算法中,我们歌词 按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问有后后 被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第另一3个 顶点现在开始遍历图,先访问这个顶点的所有相邻顶点,有后后 再访问哪几个相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  后后我们歌词 采用邻接表的依据来存储图的数据,对于图的每个顶点,都不 另一3个 字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于这个数据型态,我们歌词 都前要考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,有后后 依次处理队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将现在开始顶点存入队列。
  2. 遍历现在开始顶点的所有邻接顶点,后后哪几个邻接顶点那么被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),有后后 加入队列。
  3. 将现在开始顶点标记为被处理(颜色为黑色)。
  4. 循环处理队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()依据接收另一3个 graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要如保处理被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),哪几个颜色保居于以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性都前要通过getVertices()和getAdjList()依据得到,有后后 构造另一3个 队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据型态——队列的实现与应用》),按照上端描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面我们歌词 给出的测试用例的基础上,去掉 下面的代码,来看看breadthFirstSearch()依据的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也许多我我们歌词 用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,我们歌词 将顶点I插进最上端。从顶点I现在开始,首先遍历到的是它的相邻顶点E,有后后 是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D后后被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G后后被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,我们歌词 都前要使用它做更多的事情,类事在另一3个 图G中,从顶点v现在开始到其它所有顶点间的最短距离。我们歌词 考虑一下如保用BFS来实现寻找最短路径。

  假设另一3个 相邻顶点间的距离为1,从顶点v现在开始,在其路径上每经过另一3个 顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()依据的改进,用来返回从起始顶点现在开始到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()依据中,我们歌词 定义了另一3个 对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及哪几个顶点的前置顶点。BFS()依据不前要callback回调函数,后后它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()依据的逻辑类事,只不过在现在开始的后后将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,有后后 在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。我们歌词 仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A现在开始到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()依据的返回结果为基础,通过下面的代码,我们歌词 都前要得出从顶点A现在开始到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类都前要参考《JavaScript数据型态——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上我们歌词 说的都不 未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并都不 最要花费的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

深层优先

  深层优先算法从图的第另一3个 顶点现在开始,沿着这个顶点的一根绳子 路径递归查找到最后另一3个 顶点,有后后 返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,深层优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是深层优先遍历的示意图:

  我们歌词 仍然采用和广度优先算法一样的思路,一现在开始将所有的顶点初始化为白色,有后后 沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,后后顶点被探索过(处理过),则将颜色改为黑色。下面是深层优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第另一3个 顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数组织组织结构,后后顶点A被访问过了,许多将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(后后居于),有后后 遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,许多将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,许多将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,许多将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I那么邻接节点,有后后 将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E那么其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的曾经邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,许多将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F那么邻接节点,有后后 将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第3个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,许多将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,许多将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,许多将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G那么邻接节点,有后后 将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的曾经邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,许多将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H那么邻接节点,有后后 将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的曾经邻接节点G,后后G后后被访问过,对C的邻接节点的遍历现在开始。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后另一3个 邻接节点D,后后D后后被访问过,对A的邻接节点的遍历现在开始。将A设置为黑色。
  17. 有后后 对剩余的节点进行遍历。后后剩余的节点都被设置为黑色了,许线程现在开始。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,我们歌词 将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,深层优先算法的数据型态是栈,然而这里我们歌词 并那么使用栈来存储任何数据,许多我使用了函数的递归调用,我我我觉得递归也是栈的两种表现形式。另外许多,后后图是连通的(即图中任何另一3个 顶点之间都居于路径),我们歌词 都前要对上述代码中的depthFirstSearch()依据进行改进,只前要对图的起始顶点现在开始遍历一次就都前要了,而不前要遍历图的所有顶点,后后从起始顶点现在开始的递归就都前要覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了深层优先算法的工作原理,我们歌词 都前要使用它做更多的事情,类事拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort后后toposort)。与广度优先算法类事,我们歌词 也对上端的depthFirstSeach()依据进行改进,以说明如保使用深层优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()依据会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,我们歌词 假定时间从0现在开始,每经过一步时间值加1。在DFS()依据中,我们歌词 用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(这个和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这另一3个 值。这里前要注意的是,变量time之许多被定义为对象而都不 另一3个 普通的数字,是后后我们歌词 前要在函数间传递这个变量,后后许多我作为值传递,函数组织组织结构对变量的修改不想影响到它的原始值,有后后 我们歌词 许多我前要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,许多采用值传递的依据显然不行。有后后 我们歌词 将time定义为另一3个 对象,对象被作为引用传递给函数,曾经在函数组织组织结构对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()依据的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  我们歌词 将结果反映到示意图上,曾经更加直观:

  示意图上每另一3个 顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完正完成时间是18,都前要结合前面的深层优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。同時 我们歌词 也想看 ,深层优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序那么应用于有向无环图(DAG)。基于上端DFS()依据的返回结果,我们歌词 都前要对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到我们歌词 前要的拓扑排序结果。

  后后要实现有向图,只前要对前面我们歌词 实现的Graph类的addEdge()依据略加修改,将最后一行删掉。当然,我们歌词 也都前要在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  有后后 我们歌词 对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章我们歌词 将介绍如保用JavaScript来实现各种常见的排序算法。